serpЭрозия почв и русловые процессыSoil erosion and river channel processes3034-46383033-9588Издательство "Наука10.71367/3034-4638-2026-2-2-53-65serp-73Research ArticleСтатьиАППРОКСИМАЦИЯ ПРОДОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ ДОННЫХ ГРЯД ВЕТВЯМИ СИНУСОИДЫAPPROXIMATION OF THE LONGITUDINAL PROFILE OF RIVER DUNES USING SINE WAVE BRANCHESЗамышляевВ. И.ZamyshlyaevV. I.

Замышляев Виталий Иванович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник отдела русловых процессов

199004, Санкт-Петербург, 2-я линия В.О., д. 23

+7 921 967-1369

Zamyshlyaev Vitaly Ivanovich,  Candidate of technical sciences (PhD), Senior Researcher at the Department of Channel Processes

199004, Russian Federation, St. Petersburg, Vasilyevsky Island, 2nd line, 23

+7 921 967-1369

viza51@mail.ruФГБУ «Государственный гидрологический институт»РоссияState Hydrological InstituteRussian Federation202630072026025365Copyright © Замышляев В.И., 20262026Замышляев В.И.Zamyshlyaev V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://journal.sediment.ru/jour/article/view/73

Предложена математическая модель продольного профиля речных донных гряд, основанная на аппроксимации напорного склона и тылового откоса гряды двумя ветвями синусоиды с одинаковой амплитудой, но различными периодами и фазовыми сдвигами. В отличие от треугольной аппроксимации, модель обеспечивает гладкость (C¹-непрерывность) профиля во всех характерных точках – в подвальях и на гребне, что устраняет проблему сингулярности при гидродинамических расчетах. Получены аналитические выражения для описания профиля как в виде кусочно-заданной функции, так и в виде единой функции, определенной на всей оси абсцисс, что удобно для использования в теоретических моделях и численных расчетах. Показано, что площади под ветвями синусоид в точности равны площадям соответствующих треугольников, образованных хордами, что позволяет использовать простые оценки для объемных характеристик гряд. Для длин дуг, выражающихся через эллиптические интегралы, выполнены численные расчеты в широком диапазоне параметров крутизны и асимметрии. Установлено, что относительное превышение длины «синусоидального» профиля над «треугольным» составляет 2–4%, что может быть значимым при расчетах гидравлического сопротивления и транспорта наносов. Построены семейства параметрических графиков, описывающих основные геометрические характеристики «синусоидальной» гряды. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании рельефа речного дна, оценке сопротивления русла и расчетах расхода донных наносов.

mathematical model of the longitudinal profile of river dunes is proposed, based on the approximation of the stoss and lee sides of the dune by two sine wave branches with identical amplitudes but different periods and phase shifts. Unlike the triangular approximation, this model ensures profile smoothness (С1-continuity) at all characteristic points – at the crest and in the troughs – eliminating the singularity problem in hydrodynamic calculations. Analytical expressions are obtained to describe the profile both as a piecewise function and as a unified analytical function defined over the entire abscissa axis, which is convenient for use in theoretical models and numerical simulations. It is shown that the areas under the sine wave branches are exactly equal to the areas of the corresponding triangles formed by chords, allowing for the use of simple estimates for dune volume characteristics. For arc lengths expressed through elliptic integrals, numerical calculations were performed across a wide range of steepness and asymmetry parameters. It was established that the relative excess of the «sinusoidal» profile length over the «triangular» one is 2–4%, which can be significant in calculations of hydraulic resistance and sediment transport. Families of parametric plots describing the main geometric characteristics of the «sinusoidal» dune are constructed. The results obtained can be used for riverbed relief modeling, channel resistance assessment, and bedload discharge calculations.

донные грядыпродольный профильсинусоидальная аппроксимациягладкость профилядлина дугиплощадь сечениякрутизна грядыасимметрия грядыriver duneslongitudinal profilesinusoidal approximationprofile smoothnessarc lengthcross-sectional areadune steepnessdune asymmetryReferencesБарышников Н.Б. Динамика русловых потоков / Н.Б. Барышников. – СПб.: изд. РГГМУ, 2007. – 314 с.Allen J.R.L. (1968) The nature and origin of bedform hierarchies. Sedimentology. 10: 161-182. DOI: 10.1111/j.1365-3091.1968.tb01110.xГладков Г.Л. Транспорт наносов в реках: зависимость параметров донных гряд от определяющих факторов / Г.Л. Гладков, П.В. Беляков // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. – 2021. – Т. 13. – № 1. – С. 52–63. DOI: 10.21821/2309-5180-2021-13-1-52-63.Allen, J.R.L. (1982) Sedimentary Structures: Their Character and Physical Basis. In: Allen, J.R.L., Ed., Developments in Sedimentology, Elsevier, Amsterdam, 1-593.Гришанин К.В. Динамика русловых потоков. – 2-е изд., перераб. и доп. – Л.: Гидрометеоиздат, 1979. – 312 с.Baryshnikov N.B. Dynamics of channel flows. St. Petersburg: RSHU Publishing, 2007. 314 p. (in Russ.)Замышляев В.И. Соотношения между параметрами донных гряд при аппроксимации их продольного сечения треугольником / В.И. Замышляев // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. – 2024. – Т. 16. – № 2. – С. 236–250. DOI: 10.21821/2309-5180-2024-16-2-236-250.Best, J. (2005) The fluid dynamics of river dunes: A review and some future research directions, J. Geophys. Res., 110, F04S02, DOI: 10.1029/2004JF000218.Знаменская Н.С. Грядовое движение наносов. – Л.: Гидрометеорологическое издательство, 1968. – 188 с.Chalov R.S. Geographical studies of channel processes. Moscow: Moscow State University Publishing House, 1979. 232 p. (in Russ.)Кондратьев Н.Е., Попов И.В., Снищенко Б.Ф. Основы гидроморфологической теории руслового процесса. – Л.: Гидрометеоиздат, 1982. – 272 с.Cheng H. // Geomorphology. – 2021. – Vol. 385. – P. 107733. DOI: 10.1016/j.geomorph.2021.107733.Кронрод М.А. Оптимальный алгоритм упорядочения без рабочего поля // Докл. АН СССР, 1969, т. 186, № 6, с. 1256–1258.Cisneros J. Dunes in the world’s big rivers are characterized by low-angle lee-side slopes and a complex shape / J. Cisneros, J. Best, T. van Dijk, R. P. D. Almeida, M. Amsler, J. Boldt, B. Frietas, C. Galeazzi, R. Huizinga, M. Ianniruberto, H. Ma, J. Nittrouer, K. Oberg, O. Orfeo, D. Parsons, R. Szupiany, P. Wang, Y. Zhang // Nature Geoscience. – 2020. – Vol. 13. – Is. 2. – P. 156–162. DOI: 10.1038/s41561-019-0511-7.Маккавеев Н.И. Русло реки и эрозия в ее бассейне. – М.: Изд-во АН СССР, 1955. – 347 с.Gladkov G.L., Belyakov P.V. Sediment transport in rivers: dependence of bedform parameters on determining factors // Vestnik of Admiral S.O. Makarov State University of Maritime and River Fleet. 2021. Vol. 13. No. 1. P. 52–63. DOI: https://doi.org/10.21821/2309-5180-2021-13-1-52-63 (in Russ.)Петровская О.А. Оптимизация методов расчета расхода донных наносов с учетом гидравлических параметров рек : дис. … канд. техн. наук / ФГБУН Институт водных проблем РАН. 2019. 252 с.Grishanin K.V. Dynamics of channel flows. 2nd ed., rev. and augm. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1979. 312 p. (in Russ.)Снищенко Б.Ф., Копалиани З.Д. О скорости движения гряд в реках и лабораторных условиях // Тр. ГГИ. – 1978. – Вып. 252. – С. 20–37.Gutierrez R.R. Discrimination of bed form scales using robust spline filters and wavelet transforms: Methods and application to synthetic signals and bed forms of the Río Paraná, Argentina / R. R. Gutierrez, J. D. Abad, D. R. Parsons, J. L. Best // Journal of Geophysical Research: Earth Surface. – 2013. – Vol. 118. – Is. 3. – P. 1400–1418. DOI: 10.1002/jgrf.20102.Чалов Р.С. Географические исследования русловых процессов. М.: Изд-во МГУ, 1979. – 232 с.Kondratiev N.E., Popov I.V., Snishchenko B.F. Fundamentals of the hydromorphological theory of channel processes. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1982. 272 p. (in Russ.)Allen J.R.L. (1968) The nature and origin of bedform hierarchies. Sedimentology. 10: 161-182. DOI: 10.1111/j.1365-3091.1968.tb01110.xKronrod M.A. Optimal ordering algorithm without workspace // Doklady Akademii Nauk SSSR. 1969. Vol. 186. No. 6. P. 1256–1258 (in Russ.)Allen, J.R.L. (1982) Sedimentary Structures: Their Character and Physical Basis. In: Allen, J.R.L., Ed., Developments in Sedimentology, Elsevier, Amsterdam, 1-593.Lefebvre A. Characterising natural bedform morphology and its influence on flow / A. Lefebvre, A. J. Paarlberg, C. Winter // Geo-marine letters. – 2016. – Vol. 36. – P. 379–393. DOI: 10.1007/s00367-016-0455-5Best, J. (2005) The fluid dynamics of river dunes: A review and some future research directions, J. Geophys. Res., 110, F04S02, DOI: 10.1029/2004JF000218.Makkaveev N.I. River channel and erosion in its basin. Moscow: Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1955. 347 p. (in Russ.)Cheng H. // Geomorphology. – 2021. – Vol. 385. – P. 107733. DOI: 10.1016/j.geomorph.2021.107733.Petrovskaya O.A. Optimization of methods for calculating bedload transport considering hydraulic parameters of rivers. PhD thesis in technical sciences /Institute of Water Problems of the Russian Academy of Sciences. 2019. 252 p. (in Russ.)Cisneros J. Dunes in the world’s big rivers are characterized by low-angle lee-side slopes and a complex shape / J. Cisneros, J. Best, T. van Dijk, R. P. D. Almeida, M. Amsler, J. Boldt, B. Frietas, C. Galeazzi, R. Huizinga, M. Ianniruberto, H. Ma, J. Nittrouer, K. Oberg, O. Orfeo, D. Parsons, R. Szupiany, P. Wang, Y. Zhang // Nature Geoscience. – 2020. – Vol. 13. – Is. 2. – P. 156–162. DOI: 10.1038/s41561-019-0511-7.Scheiber L. The influence of geometric definitions on dune characteristics / L. Scheiber, A. Lefebvre // MARID VII. Seventh International Conference on Marine and River Dune Dynamics. Rennes, France, 3–5 April 2023. – 2023. – P. 293–297.Gutierrez R.R. Discrimination of bed form scales using robust spline filters and wavelet transforms: Methods and application to synthetic signals and bed forms of the Río Paraná, Argentina / R. R. Gutierrez, J. D. Abad, D. R. Parsons, J. L. Best // Journal of Geophysical Research: Earth Surface. – 2013. – Vol. 118. – Is. 3. – P. 1400–1418. DOI: 10.1002/jgrf.20102.Shinohara K. On the Characteristics of Sand Waves Formed upon Beds of the Open Channels and Rivers / K. Shinohara, T. Tsubaki // Reports of Research Institute for Applied Mechanics. – 1959. – Vol. VII. – No. 25. – P. 15–45.Lefebvre A. Characterising natural bedform morphology and its influence on flow / A. Lefebvre, A. J. Paarlberg, C. Winter // Geo-marine letters. – 2016. – Vol. 36. – P. 379–393. DOI: 10.1007/s00367-016-0455-5Simons D. B. and Richardson E. V. (1962). Resistance to flow in alluvial channels. Journal of the Hydraulics Division, ASCE. 86. 73-99. DOI: 10.1061/JYCEAJ.0000716.Scheiber L. The influence of geometric definitions on dune characteristics / L. Scheiber, A. Lefebvre // MARID VII. Seventh International Conference on Marine and River Dune Dynamics. Rennes, France, 3-5 April 2023. – 2023. – P. 293–297.Simons, D. B., E. V. Richardson and C. F. Nordin, Jr. Bedload equation for ripples and dunes. USGS professional paper 462-H. Washington: US GPO, 1965. DOI: 10.3133/pp462HShinohara K. On the Characteristics of Sand Waves Formed upon Beds of the Open Channels and Rivers / K. Shinohara, T. Tsubaki // Reports of Research Institute for Applied Mechanics. – 1959. – Vol. VII. – No. 25. – P. 15–45.Snishchenko B.F., Kopaliani Z.D. On the speed of bedform movement in rivers and laboratory conditions // Trudy GGI. 1978. Issue 252. P. 20–37 (in Russ.)Simons D. B. and Richardson E. V. (1962). Resistance to flow in alluvial channels. Journal of the Hydraulics Division, ASCE. 86. 73-99. 10.1061/JYCEAJ.0000716.Swart D.H. Predictive equations regarding coastal transport / D. H. Swart // Proceedings of the Fifteenth Conference on Coastal Engineering. – American Society of Civil Engineers, 1976. – Vol. II. – P. 1113–1132. DOI: 10.1061/9780872620834.066.Simons, D. B., E. V. Richardson and C. F. Nordin, Jr. Bedload equation for ripples and dunes. USGS professional paper 462-H. Washington: US GPO, 1965. DOI: 10.3133/pp462HVan Rijn L.C. Sediment transport, part III: bed forms and alluvial roughness / L. C. Van Rijn // Journal of hydraulic engineering. – 1984. – Vol. 110. – No. 12. – P. 1733–1754. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9429(1984)110:12(1733).Swart D.H. Predictive equations regarding coastal transport / D. H. Swart // Proceedings of the Fifteenth Conference on Coastal Engineering. – American Society of Civil Engineers, 1976. – Vol. II. – P. 1113–1132. DOI: 10.1061/9780872620834.066.Yalin M.S. Mechanics of sediment transport. – Pergamon Press. – 1972. – 290 p.Van Rijn L.C. Sediment transport, part III: bed forms and alluvial roughness / L. C. Van Rijn // Journal of hydraulic engineering. – 1984. – Vol. 110. – No. 12. – P. 1733–1754. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9429(1984)110:12(1733).Wu S. Riverbed dune morphology of the Lowermost Mississippi River–Implications of leeside slope, flow resistance and bedload transport in a large alluvial river / S. Wu, Y. J. Xu, B. Wang, H. Cheng // Geomorphology. – 2021. – Vol. 385, – 107733.Yalin M.S. Mechanics of sediment transport. – Pergamon Press. – 1972. – 290 p.Zamyshlyaev, V.I. Relationships between river dune parameters when approximating their longitudinal profile by a triangle // Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova. 16.2 (2024): xx–xx. DOI: 10.21821/2309-5180-2024-16-2-236-250 (in Russ.)Wu S. Riverbed dune morphology of the Lowermost Mississippi River–Implications of leeside slope, flow resistance and bedload transport in a large alluvial river / S. Wu, Y. J. Xu, B. Wang, H. Cheng // Geomorphology. – 2021. – Vol. 385, – 107733.Znamenskaya N.S. Bedform sediment transport. Leningrad: Hydrometeorological Publishing House, 1968. 188 p. (in Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.